B. A Гордин

Числа и оценки

Числа и оценки

А для низких мыслей были числа,
Как домашний подъяремный скот.
Потому что все оттенки смысла
Умное число передает.
Н. С. Гумилев. "Числа".
Умеете ли Вы считать ? По-видимому, да. Потому что, как правило, читать и считать учат одновременно, а читаете Вы, скорее всего, сами. (Это рассуждение — типичный пример так называемой "вероятностной оценки". Оценки такого рода часто делают бизнесмены и врачи, сыщики и геологи, генералы и шоферы.) Но как Вы считаете ? А как все вокруг. То есть используете десять цифр для записи любого, сколь угодно большого натурального числа. Если число очень большое, то и запись будет подлиннее, только и всего.
При этом существенно, на каком месте стоит та или иная цифра — поменяете — число изменится. Добавление в выражение цифры 0 существенно меняет результат, хотя как число оно означает "ничего". Отрицательные числа снабжаются знаком "-", а для описания десятичных дробей используется запятая (в некоторых странах — точка). И написанное число может понять любой грамотный человек и понять однозначно. Двойку в дневнике родители с пятеркой не спутают. Эти десять цифр в разных комбинациях написаны на термометре и монете, на лампочке и дорожном знаке, на гире и на каждой странице этого журнала. Этими цифрами пользуются Ваши родители и даже — директор школы. Кажется, что эти цифры присутствовали всегда и везде. И уж никому в голову не придёт их запрещать. Но так ли это ? Слова "всегда" и "везде" имеют слишком сильный смысл, чтобы использовать их, не расследовав дело досконально.
1. В Древнем Китае отрицательные числа писали тушью другого цвета. Казалось бы не лучше и не хуже знака минус. Но "придумать алгебру" будет намного труднее — непонятно, каким цветом писать неизвестные.
2. В 1299 г. купцам Флоренции было запрещено использовать систему счета губар — так тогда называлась используемая нами система.
Проще всего назвать запретителей дураками. Но, наверное, у них были неизвестные нам резоны. К сожалению в "Истории Флоренции" Никколо Макиавелли ничего об этом не сообщает. А вот есть почти современна история об увольнении с должности "по арифметической причине" начальника Севастопольского порта в начале этого века. Её описывает в своей книге воспоминаний академик А. Н. Крылов.
А. Н. Крылов тогда был министром флота. Ему подавали отчеты, где были несложные расчеты с делением чисел. Числа были вполне приблизительными, скажем, верной была одна цифра после запятой. А в результате деления авторы иногда приводили очень много цифр, хотя от деления точность возрасти не может, и верной остается только одна цифра после запятой (в общем случае количество верных чисел частного равно минимуму из двух натуральных чисел: количества верных цифр числителя и знаменателя). Крылов издал приказ о прекращении этой показушной точности, а первого нарушившего — уволил, полагая, что на такой должности должен служить грамотный офицер.
3. Существуют племена, которые используют только небольшие числа. Дальше идет число "неисчислимо".
4. Существовали системы счисления, в которых одна и та же запись может быть понята различными способами, — следствие отсутствия в системе разрядного знака "запятая". У нас, если ученик забудет написать, в чем измеряется ответ — в сантиметрах или километрах, то это считаетс ошибкой. В старовавилонской же системе счисления, грубо говоря, предполагалось, что читающий сам должен сообразить, о каких единицах идет речь. Не то, чтобы тогда люди были сообразительнее, а просто объектов для счета было намного меньше.
Таблица 1. (Из [1]). Числовые знаки разных древних народов.
5. Количество различных значков не обязательно должно равнятьс десяти. Например, в той же старовавилонской системе существовало всего два вида значков — клиньев, из которых один обозначал степень шестидесяти, а другой — степень десяти.
Таблица 1. Продолжение.
Вот так записывалось число 1989 в египетской иероглифической системе (как мы видим, основание 10 существенно используется):
а вот так — в вавилонской:
Эта система шестидесятиричная (клинышки слева означают 60), но число 10 тоже используется: левые три клинышка "стоят" по 10х60, а более правые — только по 60. Самые правые, маленькие клинышки "стоят" по единичке.
Задача 1. Запишите в этих системах год Вашего рождения и года рождения Ваших родителей. Существуют алфавитные системы, которые в качестве числовых обозначений используют буквы алфавита. С римскими цифрами Вы, наверное, сталкивались — их иногда используют для нумерации глав в книгах или в настенных часах. Таковы еврейская, греческая, славянские (кириллица и глаголица), сирийская, арабская, грузинская, армянская системы. В некоторых системах, для того чтобы сообщить, что знак используется не как буква, а как цифра, использовали специальный дополнительный значок. В славянских системах такой значок назывался "титло". В алфавитных системах нет проблем с нумерацией предметов, имеютс некоторые затруднения со сложением и вычитанием больших чисел, но умножать и делить — задача очень трудная (попробуйте !).
Таблица 2. (Из [1]). Алфавитное обозначение чисел.
Figure
Современная десятичная система появилась в Индии около полутора тысяч лет назад и попала в Европу через арабов (первые известные арабские рукописи с позиционной записью чисел датируются 874 и 878 гг.) около тысячи лет тому назад. Давно это или нет ? Попробуем установить это место на оси времени.
Ну, бабушки и дедушки еще не родились, пароходов и ружей еще не изобрели, Колумб еще не съездил в Америку, Чингис-хан еще не начал свои кровавые походы, но Тит уже разрушил Второй храм в Иерушалаиме, затем несколько веков спустя пала и сама Римская империя, а еще через несколько веков Карл и Харун аль-Рашид создали свои. И уже написано много разными путями дошедших до нас книг. Таких книг настолько много, что осмыслить их одному человеку трудновато, но в огромное количество раз (попробуйте оценить !) меньше, чем тех, что написаны позднее.
Любопытно отметить, что за время своего существования система губар несколько эволюционировала в смысле написания самих цифр. Время иной раз действует не хуже обманщика, переправляющего двойку в своем дневнике: во времена Ивана Калиты и Василия Темного на Руси цифру пять записывали как 4. Менялись также и слова, обозначавшие большие "круглые" числа. В славянском языке слово "тьма" могло обозначать и 104, а могло и 106; слово "легион" 105 или 1012 и т.д.
Таблица 3. (Из [1]). Написание цифр в Древней Руси.
Figure
Наша десятичная система во много раз моложе многих из перечисленных выше систем счисления. За прошедшие тысячи лет многие великие математики (например, Архимед) размышляли о том, как оптимизировать систему исчисления — прежде всего нужно сформулировать критерий качества — что лучше, а что хуже.
Кроме реальных лиц, такой задачей занимались и литературные герои. В старинной индийской книге "Лалават истара" описано состязание женихов в четырехборье: письмо, арифметика, борьба, метание стрел выигрывает Сарватасидда. Во втором состязании он предлагает шкалу чисел, где последнее число 10421.
Таблица 4.
Перевод из десятичной системы в двоичную и пятиричную. Количество знаков в двоичной записи числа увеличивается, когда мы достигаем степени 2, пятиричной — когда достигаем степени 5, десятиричной — степени 10.

0 0 0
1 1 1
2 10 2
3 11 3
4 100 4
5 101 10
6 110 11
7 111 12
8 1000 13
9 1001 14
10 1010 20
11 1011 21
12 1100 22
... ... ...
100 1100100 400
... ... ...
С появлением компьютеров проблема оптимизации системы счислени возникла вновь. Используются позиционные системы исчисления с конечным (бесконечное компьютер не может запомнить) числом разрядов. При арифметических операциях после последнего разряда производитс обнуление, возможно с добавлением 1 к последнему разряду. Например, число 1/3 может быть записано как 0,333333333, а число 2/3 как 0,666666667.
Последнее время появились системы компьютерных аналитических вычислений (наиболее популярна сейчас Mathematica), где можно помнить происхождение этих чисел и записать их именно как рациональное число, а не как десятичную дробь. Аналогично, квадратный корень из двух можно помнить именно как корень, а не как приблизительную конечную десятичную дробь.
Но является ли оптимальным выбор именно 10 цифр ? Здесь мы уже можем сформулировать критерий качества: быстрота вычислений.
Таблица 5.
Сложение в двоичной системе a+ b =

a\b 0 1
0 0 1
1 1 10

Попробуем немного потренироваться в других системах. Например, в двоичной системе есть всего две цифры: 0 и 1. Таблица соответствий между десятичной и двоичной системой: см. Табл. 4. Нетрудно также получить и таблицы сложения и умножения в двоичной системе: см. Табл. 5, 6.
Таблица 6.
Умножение в двоичной системе a·b =

a\b 0 1
0 0 0
1 0 1

Задача 2. Составьте таблицу перевода в четверичную и восьмеричную системы.
Задача 3. Составьте таблицы сложения и умножения в троичной системе.
Для того чтобы складывать и умножать многозначные числа, скажем, в двоичной системе, существует два способа: а) использовать сложение и умножение столбиком непосредственно в двоичной системе с применением Табл.2, 3; б) Перевести слагаемые (или сомножители) из двоичной в десятичную в соответствии с Табл.1, произвести операцию сложения (или умножения) в привычной десятичной и затем совершить обратный переход в двоичную с помощью все той же Табл.1.
Задача 4. Проверьте на примерах, что оба способа приводят к одинаковым результатам и оцените, какой способ быстрее ?
Что касается дробей, то умение работать с ними в древнем мире была безусловно считалось математикой высшей. Приведем примеры простейших дробей.
Figure
Figure
Дополнительные сведения о системах счисления Вы можете найти, например, в следующих книгах.

References

[1]
И. Г. Башмакова, А. П. Юшкевич: Происхождение систем счисления. В энциклопедии элементарной математики. т.1. 1951г. стр. 11-76.
[2]
Д. Е. Кнут: Искусство программирования, т.2, 1977г.
[3]
С. К. Табачников: Многочлены, М., "Фазис", 1998.