B. A Гордин

Воздушные связи, или как оценивать корреляционные функции

Воздушные связи, или как оценивать корреляционные функции

Узловатых дней колена
Нужно флейтою связать.
О. Э. Мандельштам. "Век".

1  Закономерности на словах

После изгнания Адама из Рая люди пытаются установить причинно-следственные связи между тем, что они делают и тем, что их окружает. Иногда эта деятельность называется наукой. А что нас окружает? В первую очередь воздух, атмосфера.
Вопрос о влиянии человека на атмосферу рассматривался и в допромышленную эпоху. Тогда оно еще не называлось антропогенным.
В летописи Феофана за 797 г. записано1: "Померкло солнце на 17 дней и не посылало лучей своих, так что суда теряли свое направление и носились по течению; все говорили и признавали, что солнце отказало в своих лучах по случаю ослепления царя. Так достигла власти Ирина, мать его."
А в книге Шу цзин (Шан шу) 25 веков назад писано:
"Существуют счастливые предзнаменования. Достойное поведение правителя символизируется (что бы это значило? В.Г.) своевременным дождем, поддержание правителем порядка в стране символизируетс своевременным солнечным сиянием, прозорливость правител символизируется своевременной жарой, его осмотрительность символизируется своевременным холодом, мудрость правител символизируется своевременным ветром. Существуют также несчастливые предзнаменования. Распущенность правителя символизируют непрекращающиеся дожди, ошибки правителя символизирует непрекращающееся солнечное сияние, леность правителя символизируетс непрекращающейся жарой, его неосмотрительная торопливость символизируется непрекращающимся холодом, глупость правител символизируется непрекращающимся ветром.
Он (Конфуций) говорил дальше так: правитель должен каждый год изучать действие этих пяти явлений природы, сановники должны это делать каждый месяц, нижние чины - каждый день.
Если должная сезонность (действия пяти явлений природы) не нарушаетс в течение года, месяца и дня, то все злаки полностью созревают, управление страной ведется мудро, выдающиеся люди пользуются славой (и занимают чиновничьи посты), а страна пребывает в состоянии мира и спокойствия. Если же должная сезонность (действия пяти явлений природы) нарушаются в течение дня, месяца и года, то разные злаки не имеют возможности созреть, управление страной ведется вслепую и глупо, выдающиеся люди отодвигаются в тень, а страна пребывает в состоянии беспокойства.
Многочисленный народ должен изучать движение и характер звезд. Есть звезды, которые любят ветер, и есть звезды, которые любят дождь. В результате движения солнца и луны существует зима и существует лето. Движение луны среди звезд приводит к ветру и дождю."
Другой вопрос — влияние атмосферы на человека.
Современник Конфуция — Гиппократ (`Ippokr\acute athV) в книге "О воздухах, водах и местностях" указывает на влияние розы ветров города на здоровье и нравы его жителей. Кстати, долгое время на изображении оной указывали не числа (это уже недавнее изобретение), а названия ветров на латыни или греческом и сопровождающие метеорологические явления2.
Обладание такой (долгое время лишь качественной) информацией дл капитанов и владельцев парусных судов было вопросом жизни и смерти. Даже весьма большие корабли, но с прямым парусом, не могли даже галсами плыть против ветра. Поэтому время для плаванья определялось по розе ветров.
Занимающийся сельским хозяйством Гесиод (HS I OD O U) весьма внимателен к изменению ветров, их зависимости от времени года. Его современник, описывающий подвиги и приключения, Гомер (O M H P O U) ("Одиссея", V, 330-332) также упоминает3 многие:
               "Так же и плот его ветры по бурному морю гоняли.
               То вдруг Борею бросал его Нот, чтобы гнал пред собою,
               То его Евр отдавал преследовать дальше Зефиру."
Нас же далее будет интересовать внутренние связи между различными метеорологическими величинами в одной и той же или различных точках. При этом мы будем использовать количественные статистические оценки таких связей.
Важный вопрос гидродинамического прогноза погоды, т.е. численного решения системы эволюционных уравнений в частных производных, здесь мы не будем рассматривать, см. например, [7], [8], [12].

2  Статистические оценки

Со временем на розе ветров стали указывать количественную информацию в виде гистограмм, т.е. графиков частоты направлений ветра (как функции угла)4.
Рис. 1.
Варианты розы ветров из "Метеорологического словаря" С. П. Хромов, Л. И. Мамонтова, Л., Гидрометеоиздат, 1963. Из более простой нижней можно узнать частоты ветров каждого из 8 румбов (штиль исключен). На верхней частоты показаны и длиной стрел в каждом румбе, и цифрами (штиль включен). Число черточек оперения означает среднюю скорость в данном румбе в м/сек. Таким образом, можно определить (сделайте это для приведенной розы ветров !), например, куда и на какое расстояние смещается в среднем за час частица воздуха над районом, в сезон и т.д. для которых построена эта роза ветров.
Роза ветров интересует не только моряков. На суше ее полезно знать, например, при строительстве ветряной мельницы.
Сейчас к этому добавилась необходимость расчета последствий выбросов вредных газов из промышленных труб вблизи человеческого жилья,- их влияние, риск и последствия аварий нужно сводить к минимуму.
Вот еще пример5 количественного, т.е. более подробного и основанного на статистике подхода. "Ведя особый список и дневник судов, приплывающих и отплывающих в порты Александрии, Александретты и нашей Венеции, по сравнению друг с другом многих данных, что я делал из любопытства, нашел, что рейсы сюда, т.е. с востока на запад по Средиземному морю, как общее правило, совершаются в сроки, меньшие, чем рейсы в обратном направлении, процентов на 25. Таким образом, оказывается, что, вообще говоря, ветры с востока более сильны, чем с запада." Стиль этого простого и убедительного исследования напоминает "Записки о Шерлоке Холмсе". Имя любопытного — Галилео Галилей. Это цитата из книги "Диалоги о двух главных системах мира, Птолемея и Коперника. День IV", 1632 г. Речь здесь идет о ветре на высотах, не превышающих корабельных мачт.
В середине XX в. в связи с массовым применением высотной военной авиации так же "статистически" было открыто т.н. "струйное течение", опоясывающее Землю на высоте ~ 10км и на широтах ~ 40°. Скорость этой колеблющейся струи может превысить 100 м/сек, что дл авиации вполне существенно.
Известны и древние количественные оценки метеорологических величин. Мишнa (часть Талмуда) указывает количество осадков (7 ладоней) за весенний период, обеспечивающее хороший урожай летом, [18].

3  Коэффициент корреляции

Стандартная задача — количественная оценка связи между двум числовыми величинами (например, температурами воздуха в одно и то же время в Москве и Твери) — м.б. решена как задача теории вероятностей. Будем рассматривать их как реализации двух случайных величин и вычислим

cor(xh) =  M[(x-Mx) (h- Mh)]


Ц

M(x-Mx)2
 
Ц

M(h- Mh)2
,
где M — математическое ожидание.
Разумеется, коэффициент корреляции не характеризует связь величин полностью. Пусть, например, величина x с вероятностями 0,5 принимает значения ±1, а h = x2, т.е. детерминированно связана с x. Однако, cor(xh) = 0. В обратной же ситуации: cor(xh) = ±1 можно доказать, что величины с вероятностью 1 пропорциональны. Т.о. коэффициент корреляции полезная, но не универсальная характеристика связи двух величин.
Нетрудно доказать, что если величин несколько и мы составим корреляционную матрицу ||cor(xixj)||, то эта симметричная матрица будет неотрицательно определенной (как и любая матрица Грама).

4  Корреляционные функции и оптимальная интерполяция

Более трудная задача — установить связь не между двумя числовыми или векторными случайными величинами, но между значениями в разных точках случайной функции — если независимое переменное скалярное, то така функция называется случайным процессом, а если многомерное — случайным полем. Случайное поле можно рассматривать как функцию двух переменных, из которых одно — "детерминированное", принадлежащее RRn,  SS2, а второе — "случайное", пробегающее пространство элементарных событий. Интеграл по второму и есть M.
Коэффициент корреляции можно вычислить теперь для любых двух значений первого аргумента — получается функция двух переменных

K(xy) =  M[(x(x) -Mx(x)) (x(y) - Mx(y))]


Ц

M(x(x) -Mx(x))2
 
Ц

M(x(y) - Mx(y))2
,
называемая корреляционной (КФ), где второй, "случайный" аргумент случайного поля x опускается. Слева стоит детерминированна величина, поскольку по "случайному" переменному проинтегрировали.
Предположим, что мы откуда-то узнали КФ случайного поля. Пусть мы измерили поле в нескольких точках (метеостанциях) {xi}i=1i=I, а хотим оценить значение этого же поля в некоторой точке x0. На практике это точка регулярной сетки. Мы хотим переинтерполировать в точки сетки результаты измерений, чтобы затем начать решать (с помощью разностных, спектральных или комбинированных методов) задачу Коши или смешанную краевую задачу дл прогностических уравнений в частных производных. Прежде мы центрируем поле (т.е. вычтем т.н. поле первого приближения) и нормируем на дисперсию: s2 (x) = M (x(x) -M x(x))2,  xЮ (x- M x)/s(x).
Мы в классе линейных оценок:

x(x0) » i=I
е
i=1 
ai x(xi)
хотим подобрать наилучшую: M (x(x0) - еi=1i=Iai x(xi) )2® minЫ

Ы Q 
®
a
 
=
®
b
 
,  где   Q=||M (x(xix(xj)||,   
®
b
 
= < M (x(xix(x0) > .
По существу, это вариант метода наименьших квадратов. В метеорологию был введен Л. С. Гандиным и назван оптимальной интерполяцией (ОИ).
Нахождение минимума сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений порядка I с симметричной матрицей Q. Q положительно/неотрицательно определена, если такова КФ. Дл "истинных" КФ (которая до сих пор предполагалась заданной a priori) неотрицательная определенность выполняется по определению, а дл вычисленной по данным с пропусками и ошибками может и нарушиться. Q тогда может стать плохо обусловленной или вырожденной, а результат минимизации ненадежным.
Сначала в качестве поля первого приближения M x — температуры, ветра, высоты барической поверхности (геопотенциала), влажности использовали климатические поля. Затем стали использовать поля численного прогноза на срок анализа6, т.е. усвоение данных наблюдений стало непрерывным.
Оценка КФ — достаточно сложная задача. Предположим, что каждый из ее аргументов пробегает сетку на поверхности Земли с шагом 5° по широте и долготе, а по вертикали — 10 уровней. Тогда для задания КФ необходимо статистически оценить 2,5·108 чисел. Если мы вспомним, что случайное поле не скалярное, а векторное, и что сетку лучше использовать более мелкую, то станет ясно, что мы сталкиваемся с задачей, трудной даже для современных измерительных систем.
Хотя непрерывную функцию многих переменных можно представить в виде суперпозиции функций меньшего числа аргументов (см., например, [5]), но производные у таких функций или не существуют, или очень большие, что неприемлемо для практически используемых КФ.
Оценка КФ должна быть не только близкой к реальности (иначе пропадет преимущество ОИ перед другими методами — быть статистически наилучшей оценкой), но и положительно определенной, т.е. должен быть положительным спектр интегрального оператора Фредгольма с ядром K(xy) — проверить это трудно.

5  Гипотезы однородности и изотропности

Случайное поле в пространстве Rn называется однородным в широком смысле7, если для любого вектора h О Rn    K(x+h), (y+ h) = K(xy). Для процесса (n=1) используется термин стационарный вместо однородный.
Поле называется изотропным в широком смысле, если для любого вращени g О O(n) K(g(x), g(y)) = K(xy). Другими словами, КФ инвариантна относительно действия некоторой группы, сдвигов — в первом случае, и поворотов — во втором. Если поле в широком смысле и однородно, и изотропно, то КФ инвариантна относительно любых движений пространства.
Если поле определено на двумерной сфере S2, то КФ должна быть инвариантна относительно группы поворотов сферы O(3). Поэтому КФ зависит только от инвариантов группы. В случае скалярного случайного поля в пространстве, КФ зависит только от расстояния между точками K=K(r),  r=|x-y|. На сфере S2 расстояние r между двумя точками вычисляется вдоль геодезической — дуги большого круга, соединяющей x и y.
Если рассматривается не скалярное поле (например, температуры), а векторное (например, поле ветра), то группа меняет (поворачивает) одновременно и аргумент поля, и его значения, см. [7], [8], [12], [15].
В случае однородного и изотропного случайного векторного поля следует вычислять КФ не для компонентов ветра вдоль осей координат (они не ивариантны относительно действия группы), но для продольного и поперечного (относительно вектора, соединяющего точки — аргументы КФ) компонентов. Эти КФ зависят только от r, и кросс-КФ этих компонентов равна нулю тождественно.
Для крупномасштабных метеорологических полей вертикальная координата не равноправна с горизонтальными и можно надеяться только на однородность и изотропность вдоль горизонтальных координат, т.е. КФ зависит от расстояния по горизонтали между двумя точками — аргументами и от обеих вертикальных координат (по этим последним симметрично). Таким образом, вместо 6 аргументов КФ однородного и изотропного поля зависит только от 3. Это делает возможной статистическую оценку по имеющемуся архиву наблюдений на современных компьютерах.
Можно считать, что у нас случайные поля на плоскости, но со значениями в пространстве функций от вертикального аргумента. Эти поля однородные и изотропные.

6  Теорема Бохнера

Условие положительной определенности КФ означает, что положителен спектр интегрального оператора, где в качестве ядра используется КФ.
Если поле однородно (про изотропность пока не упоминаем), то K = K(x - y) а следовательно, и интегральный оператор с таким ядром, инвариантны относительно действия группы сдвигов. Этим же свойством обладает и оператор Лапласа. Из теории линейных самосопряженных операторов следует, что у этих двух операторов общие собственные функции. В случае пространства Rn это осциллирующие экспоненты8 вида exp[i(k,x)]. Разложение по этим собственным функциям есть ничто иное как разложение в интеграл Фурье, а условие положительной определенности КФ сводится к положительности ее образа Фурье. В этом и состоит теорема Бохнера.
В случае сферы S2 инвариантная относительно поворотов КФ раскладывается по зональным сферическим функциям — полиномам Лежандра: K(q) = еl=0Ґ Cl Pl(q) (где q — дуга большого круга в радианах), а теорема Бохнера дает условие неотрицательной определенности для КФ: Cl і 0,  l=0, 1,ј
Собственное число оператора Лапласа для мнимой экспоненты есть -k2; одному числу отвечает в случае R2 целая окружность (для R3 это двумерная сфера) различных собственных функций. Из них можно построить одну, не зависящую от угла (а только от радиуса) в полярной системе координат. Это функция Бесселя с нулевым индексом: J0(ar),  a і 0 (подробности см. [2], [16]). Для того чтобы проверить функцию K=K(r), являетс ли она КФ какого-нибудь однородного и изотропного скалярного случайного поля нужно разложить ее в интеграл Фурье — Бессел

E(a) = у
х
Ґ

0 
K(rJ0(a rr dr
и убедиться, что E(a) і 0.
Для КФ продольного и поперечного компонентов утверждение меняется. Это не скаляры. Но они могут быть выражены через скаляры. Всякое векторное поле на плоскости может быть представлено в виде суммы потенциального grad f и соленоидального ez ×grad  y слагаемых, где fy — скалярные функции. Нетрудно показать, [12], [15], что если случайное векторное поле однородно и изотропно, то его потенциал и функция тока суть скалярные некоррелирующие случайные поля (с настоящими скалярными случайными полями, геопотенциалом и температурой, коррелирует только поперечный компонент), и верны следующие формулы

KNN(r) = - d2r Ky y (r),    KLL(r) = - d2r Kf f (r).
Т.о. KNN(r), KLL(r) нужно раскладывать по функциям J0(ar)", а кросс-КФ поперечного компонента со скалярами — по J0(ar)ў.
При любом a должен получиться матричный положительно определенный коэффициент.
Однородные поля могут рассматриваться не только в пространстве или на сфере, но и на компактных группах и их однородных пространствах, [20]. Мы не будем здесь затрагивать этот вопрос, поскольку метеорологических измерений на плоскости Лобачевского пока не проводят.

7  Практическая оценка КФ и проблема положительной определенности

Являются ли метеорологические поля однородными и изотропными хотя бы по горизонтальным координатам ? Нет, поскольку поля средних — т.н. климатические поля — существенно зависят от горизонтальных координат. Это препятствие преодолимо — центрируем случайное поле, т.е. вычтем поле средних. У этой разности случайного и детерменированного полей будет нулевое среднее. Но есть еще одно препятствие — в разных точках Земли отклонения от среднего значени различны. Другими словами, дисперсия не есть константа: s = s(x).
Поэтому мы не только вычитаем среднее, но и делим разность на корень из дисперсии. Результат будем рассматривать как центрированное однородное случайное поле9. Наиболее тонкое предположение — инвариантность относительно поворотов в горизонтальной плоскости SO(2) или поворотов и отражений O(2) мы требуем от корреляционной функции. Проверка выполнения гипотезы однородности и изотропности — важная статистическая задача, [19].
В качестве полей средних значений вместо климатических значений могут использоваться (и реально используются в методе ОИ) прогностические поля. При этом поле дисперсий уменьшается — прогноз ближе к истине, чем климат. Оно ближе к константе, но все-таки не константа — погрешность прогноза разная в разных регионах — над Тихим океаном больше, чем над Европой.
Однако, для реальной сети станций множество расстояний между парами станций дискретно. Кроме того при оценке КФ необходимо разбить луч r О [0, +Ґ) или отрезок r О [0, r*] (мы использовали r*=3000 км) на отрезки (кластеры), где КФ примерно постоянны. Использовалось D r=50 км. Мы ищем наилучшую L2-аппроксимацию таких ступенчатых функций линейной комбинацией функций Бесселя:

б A0 d(r),  M
е
m=1 
Am J0 (r/mm)с ,   Am=A*m > 0,  m=0, ј M.
(1)
Здесь первый член отвечает другому, независимому случайному полю — ошибкам измерений аэрологического зондирования (ошибки на разных станциях независимы) и очень коротким волнам с длиной меньшей, чем расстояние между соседними станциями и чем D r; матрицы A0јAM и масштабные множители m1јmM оптимизируются при ограничении: на диагонали суммы всех матриц A0ј+ AM стоят 1. В этой L2-метрике с весом функции J0 (r/mm) не являются ортогональными, реальную их матрицу Грама необходимо учитывать при вычислении коэффициентов разложения.
Однако, как обеспечить положительную определенность всех матриц {Am}m=0m=M ?

8  Теория возмущений

Пусть A и B — известные симметричные матрицы, а e << 1 малый параметр. Пусть собственные числа {l[0]k}k=1k=K и собственные вектора {ek}k=1k=K определены, и мы хотим оценить (не реша заново полную проблему) собственные числа {lk (e)}k=1k=K "возмущенной" матрицы A + e B.10 Оказывается, что они непрерывно зависят от e и могут быть разложены в ряд по его степеням (или дробным степеням, если спектр основной матрицы A содержит кратные значения).
Пусть спектр A прост. Тогда имеет место асимптотическое разложение

lk (e) = l[0]k + e l[1]k +O(e2),  e® 0,  где l[1]k = ж
и
B 
®
e
 

k 
®
e
 

k 
ц
ш
.
Случай кратного спектра матрицы A, асимптотики более высокого порядка по e, сходимость этих асимптотических рядов, бесконечномерный случай, доказательства и т.д. см. [4], [13], [14].
В нашем случае основная матрица A "почти" положительно определена и её нужно "мало" возмутить ([1], [6], [7], [12]), так чтобы она таковой стала, т.е.

lk (e) » l[0]k + e l[1]k і C,
(2)
где e = 1 и, например, C=0,001. Поскольку наибольшие собственные числа A обычно лежат в интервале 10 — 100, мы получим обусловленность 104 - 105, что приемлемо. Ясно, что таких симметричных матриц B много. Мы выберем такую, что
trace (B* B) = K
е
k,l=1 
bk l2 ® min
.
В задаче об оптимальной коррекции КФ таких матриц несколько, и нужно минимизировать

m=M
е
m=0 
 trace (B*m Bm) = m=M
е
m=0 
  K
е
k,l=1 
(bmk l)2 ® min
.
(3)
при условиях еm=0m=M bk km=0, k=1, јdim Am11 и (2).
Разумеется, в ограничениях минимизации (2) мы пренебрегаем членами второго порядка малости и это оправдывается лишь a posteriori, когда выясняется действительная малость матрицы B, т.е. (3) по сравнению с trace A* A. Это, в свою очередь, есть результат того что исходная матрица A действительно почти положительно определена.

9  Регуляризация КФ как вариационная задача

Перечислим шаги алгоритма оценки матричнозначной корреляционной функции.
1. Оценка корреляции между заданными метеорологическими полями на данных вертикальных уровнях (в экспериментах полей 4, а уровней 16) при расстоянии по горизонтали между парой станций в заданном диапазоне (60 диапазонов).
2. Проекция полученной ступенчатой матричнозначной КФ на подпространство функций вида (1) с некоторыми масштабными множителями mm. Метрика, в которой осуществляется проекция типа L2 с весом, учитывающим количество наблюдений в данном диапазоне.
3. Определение собственных чисел и векторов матриц. Для малых и отрицательных собственных чисел проводится процедура регуляризации, Am ® Am + e Bm, описанная в п.8 c e » 0,2. Затем производится подшаг минимизации (3) по масштабным множителям, см. [12], [17].
Данный шаг повторяется несколько раз, пока не кончатся отрицательные собственные числа.
Такая оценка КФ проводилась для каждого широтного пояса и для каждого месяца года по 35-летнему архиву аэрологических наблюдений. При переходе к следующему случаю удобно использовать полученные перед тем масштабные множители в качестве первого приближения — это заметно ускоряет сходимость итерационного процесса.

References

[1]
O. A. Alduchov, V. A. Gordin: 3D Correlation Functions — Variational Problem. "Research Activities in Atmospheric and Oceanic Modeling". 1999, N 28, pp.1.1-1.2.
[2]
И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов: Пространства основных и обобщенных функций. Физматгиз, М., 1959, 308 стр.
[3]
И. М. Гельфанд, Н. Я. Виленкин: Некоторые применени гармонического анализа. Оснащенные пространства. Физматгиз, М., 1961, 472 стр.
[4]
И. М. Гельфанд: Лекции по линейной алгебре. М., "Добросвет", 1998, 320 стр.
[5]
А. Н. Горбань: Функции многих переменных и нейронные сети. Соросовский образовательный журнал, 1998, N 12, стр.105-112.
[6]
В. А. Гордин: Согласование ковариационных функций геопотенциала и температуры. Метеорология и гидрология, 1984, N 5, стр 101-103.
[7]
В. А. Гордин: Математические задачи гидродинамического прогноза погоды. т.1. Аналитические аспекты. т.2. Вычислительные аспекты. 1987, Гидрометеоиздат, Л., 256 стр., 264 стр.
[8]
В. А. Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды. Гидрометеоиздат, Л., 1991, 224 стр.
[9]
В. А. Гордин: Оптимизация корреляционных функций как задача вариационного исчисления. Метеорология и гидрология, 1994, N 4, стр 39-45.
[10]
V. A. Gordin: Choice of Configuration Space and Correlation Functions for Optimal Interpolation. Research Activities in Atmospheric and Oceanic Modeling, 1997, N 25, pp.1.9-1.10.
[11]
V. A. Gordin: Synoptical Situations Separate Correlation Functions. "Research Activities in Atmospheric and Oceanic Modeling" 1998, Rep. N 27, MO/TD-No 865, WMO, p.1.25-1.26.
[12]
V. A. Gordin: Mathematical Problems and Methods in Hydrodynamical Weather Forecasting. Gordon & Breach Publ. House, 1999, 842 p.
[13]
Т. Като: Теория возмущений. 1972, "Мир", М., 740 стр.
[14]
Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц: Квантовая механика. 1963, ГИФМЛ, М., 702 стр.
[15]
А. С. Монин, А. М. Яглом: Статистическая гидромеханика. т.2. М., "Наука", 1996, 742 стр.
[16]
Г. Е. Шилов: Математический анализ. Второй спецкурс. М., "Наука", 1966, 327 стр.
[17]
Р. П. Федоренко: Лекции по вычислительной физике. "МФТИ", Moсква, 1994, 526 стp.
[18]
А. Х. Хргиан: Очерки развития метеорологии. Гидрометеоиздат, Л., 1959, 428 стр.
[19]
М. Д. Цырульников, Е. А. Локтионова: Статистические оценки горизонтальных ковариационных функций полей ветра для приложений объективного анализа. Метеорология и гидрология, 1993, N 11, стр 32-42.
[20]
А. М. Яглом: Положительно-определенные функции и однородные случайные поля на группах и однородных пространствах. ДАН, 1960, т.135, N 6, стр.1342-1345.

Footnotes:

1 Много примеров "активного влияния" содержится в книге "Золотая ветвь" Дж. Фрезера.
2 См. Б. Я. Рамм "Уникальный ленинградский экземпляр средневековой розы ветров." в книге под ред. М. И. Белова "Путешествия и географические открытия XV&8211;XIX в." М.-Л., "Наука", стр. 132&8211;152. Манускрипт, о котором идет речь в этой публикации, хранится в Публичной им. Н. Е. Салтыкова-Щедрина библиотеке Санкт-Петербурга c номером Let.Q.v.XVII N 3, 2 ff.
3 В [18] высказано предположение, что порядок смены направлений ветров выбран Гомером не случайно, но отражает метеорологические закономерности.
4 Чтобы с сумме получить единицу, нужно не забыть приплюсовать к частотам (за моменты измерений) ветров по всем направлениям еще и частоту штилей.
5 Для мореплавателей может быть полезно знать преимущественное направление ветров не в отдельном наблюдательном пункте, а интегрально вдоль трассы. Знание попутных ветров — важна часть (часто — секретная) профессии капитанов, кормчих, штурманов во все времена. Периоды пассатов и широт, на которых они дуют, учитывались при сообщениях с Америкой со времен Колумба.
6 т.е. меняетс случайное поле.
7 в узком смысле, - если не только второй момент (т.е. КФ) инвариантен относительно сдвигов, но и все высшие моменты, например, M [x(x), x(y), x(z)].
8 На самом деле речь идет об обобщенных собственных функциях и непрерывном спектре операторов. Необходимые детали см. например, [3].
9 Вместо этого предположени (анзаца) можно рассмотреть более сложный. Будем предполагать, что пару точек характеризует не только расстояние между ними, но и принадлежность (или непринадлежность) их к общей синоптической массе воздуха — если между ними проходит атмосферный фронт, то расстояние между ними нужно считать большим, чем если бы фронта между ними не было. КФ в такой модели зависит от двух переменных — расстояни между точками и, например, ming Var T(xt), где g пробегает множество кривых, соединяющих пару точек, T(xt)- температура в момент измерения, определяемая по полю прогноза на срок анализа, например, на барическом уровне 700 гПа,  Var — вариация функции вдоль кривой g. Даже более простое разбиение пар точек на подклассы (кластеры) согласно модулю разности температур дает КФ существенно различные для разных кластеров, [10], [11], [12]. Учет такого дополнительного аргумента КФ при ОИ, следовательно, резко уменьшит погрешность интерполяции.
10 На практике это означает, что мал не параметр e, который полагается равным 1, а матрица B по сравнению с матрицей A.
11 на диагонали возмущенной корреляционной матрицы также должны стоять 1, возмущение не должно их менять.