B. A Гордин

Сколько на свете дробей и как считать бесконечные множества

Сколько на свете дробей и как считать бесконечные множества

1  Множества

В предыдущей статье мы изучали разные системы исчисления. Здесь мы начнем с вопроса: А что, собственно, значит - считать ?
Считать можно элементы множества. Предположение теории множеств: для каждого элемента можно сказать, принадлежит ли он данному множеству или нет ?
Примеры.
1. Множество целых чисел от 1 до 8. Принадлежит ли этому множеству, например, число 3,52 ? Ответ: нет, оно не целое.
2. Множество чаинок в Вашем стакане чая. Мы не знаем, сколько именно чаинок, но про каждую можем сказать, принадлежит она нашему множеству или нет. Если чаинок нет вовсе, то мы будем говорить, что это пустое множество. Оно обозначается специальным значком Ж.
Обозначим: a О A, если элемент a принадлежит множеству A, a П A - если не принадлежит. Предположение теории множеств: всегда только одно из этих условий выполняется; по поводу чаинок на ободке стакана или летящих в данный момент из стакана, договоренность, принадлежат они множеству или нет, уже достигнута и не обсуждается.
Принадлежат ли чаинки множеству стаканов ? Нет. Это элементы другого множества.
3. Множество точек отрезка [0, 1]. На тему о количестве этих точек древнегреческие философы извели немало пергамена и папируса. Главное в том, что они пытались получить ответ на таком же языке, что и в примере 2. Пусть точек больше, чем чаинок в стакане, рассуждали они, но как-нибудь постараемся и ответим. А множество это - бесконечное.
В случае конечных множеств ответ на вопрос "сколько ?" допускает ответ вида "столько, сколько целых чисел в данном отрезке натурального ряда". В примере 1 ответ: 8; в примере 2 ответ тоже можно дать. А вот в случае 3 ответ нужно искать в виде: "столько же, сколько и в некотором эталоне". Тут нужно назвать эталон. При этом возникает куча вопросов. Что значит "столько же" для бесконечных множеств ? Какие выбрать эталоны ? Всегда ли такой эталон можно подобрать ? Не может ли получиться, что одному и тому же множеству будут соответствовать два разных эталона ? Такими вопросами и занимается теория множеств. Важную роль в создании теории сыграл живший в Германии в конце XIX в. Георг Кантор1.

2  Подмножества

Множество B, составленное из некоторых элементов множества A, называется его подмножеством. Записывается это так: B Н A. Например, само множество есть собственное подмножество. Пустое множество является подмножеством любого множества.
У множества A из двух элементов, a и b имеется 4 подмножества: пустое подмножество, два множества из одного элемента и одно подмножество из двух элементов - само множество A.
Задача 1. Докажите, что если множество A состоит из трех элементов, то множество всех подмножеств множества A (оно обозначается через 2A) состоит из 9 подмножеств, а если из 4, то из 16.
Задача 2. Сколько разных подмножеств имеется во множестве из n элементов ?
Пример 4.
Множество четных натуральных чисел является подмножеством множества всех натуральных чисел.
Пусть B есть подмножество множества A. Подмножество, состоящее из тех элементов A, которые не принадлежат B, называется дополнением множества B и обозначается A\B, а если из контекста понятно, о каком множестве A идет речь, то Bc.
Задача 3. Докажите, что (Bc)C є B.
В примере 4 таким дополнением является множество нечетных натуральных чисел.
Задача 4. Определите дополнение во множестве натуральных чисел к подмножеству чисел, делящихся на 7.
Пусть заданы два множества, A и B. Их пересечение AЗB состоит из тех элементов, которые принадлежат обоим множествам, а объединение AИB - хотя бы одному из них.
Рис. 1.
(а) заштриховано пересечение множеств, (б) - объединение.
Задача 5. Докажите, что A ЗB є B ЗA и AИB є B ИA.
Рис. 2.
Подмножество и его дополнение заштрихованы по-разному.
Задача 6. Пусть заданы два подмножества, A Н C,  B Н C. Докажите, что (AИB)c є AcЗBc и (AЗB)c є AcИBc.
В математической логике объединение соответствует логической операции "или", а пересечение - "и". Мы поговорим об этом подробнее в другой статье.
Задача 7. Докажите равенство множеств A З(B ИC ) є (A ЗB)И(A ЗC).
Задача 8. Какие свойства арифметических операций с числами напоминают рассмотренные в задачах свойства операций пересечения и объединения множеств ?
Пусть заданы два множества, A и B. Их прямой суммой (декартовым2 произведением) называется множество, составленное из всевозможных пар элементов < ab > , из которых первый пробегает множество A, а второй - B. Обозначается это множество по-разному. Например, AЕB или A ×B.
Рисунок 3.
Если множества A и B конечны, то число элементов множества A×B вычислить нетрудно. Здесь A состоит из 5 чеpных кpужков, а B - из 3 белых.

3  Отображения

Назовем отображением (или функцией) из множества A в множество B правило (обозначим его f), по которому каждому элементу множества A ставится в соответствие элемент множества B. Обозначение f: A® B.
Пример 5. Учитель ставит отметки за контрольную. Каждой работе из множества A он ставит в соответствие натуральные числа от 1 до 5. Если он использует более тонкую градацию (с плюсами и минусами), то множеству контрольных A он ставит в соответствие уже элементы множества B, состоящего из 15 элементов. Если предположить, что он может какие-то работы не оценить, то к элементам множества B нужно добавить еще один элемент - "без оценки".
Пример 6. Прибор (например, термометр или барометр) проводит измерения непрерывно или с интервалом D. В первом случае имеется отображение отрезка времени, когда прибор проводит измерения, во множество чисел. Во втором случае отображается дискретное множество моментов измерений на множество чисел.
Пример 7. Самолет летит в пространстве и его положение характеризуется тремя координатами. Отрезок времени отображается во множество троек чисел, которое обозначается R3. Можно учесть и скорость (у которой тоже три компонента). Тогда каждому моменту времени ставится в соответствие шестерка чисел и имеет место отображение f: [0, T] ® R6, где T - время полета. Впрочем, мы можем следить за самолетом во время его остановки, когда отображение происходит в одну и ту же точку с заданными горизонтальными координатами и нулевыми вертикальной координатой и всеми тремя компонентами скорости.
Самые простые отображения получаются, если все элементы A отображаются в один и тот же элемент множества B. Такие отображени называются константами. В последнем примере такое отображение получается, если вместо самолета рассмотреть телеграфный столб.
Подмножества могут задаваться с помощью отображений во множество из двух элементов 0 и 1. Пусть Y Н X. Зададим отображение
fY: X ® < 0, 1 > , соответствующее Y по следующему правилу:

fY(x) = м
н
о
0
Ь
x О Y
1
Ь
x П Y.
Теперь подмножество Y выделяется условием: это те точки, которые при отображении fY: X ® < 0, 1 > переходят в нуль.
Задача 2 сообщает, сколько бывает таких отображений.
Задача 9. Пусть множество X состоит из n элементов, а множество P - из m. Сколько бывает отображений из X в P ?
Отображение f: X ® Y называется отображением на Y (разница - в предлоге), если у всякого элемента y О Y имеется хотя бы один прообраз, т.е. такой элемент x О X, что f(x)=y (друга форма записи) f: x ® y. В любом случае образом отображения f называется подмножество множества Y, составленное из всевозможных f(x).
Людям свойственно иметь имя. Множество людей отображается на множество имен. "На", потому что у каждого имени есть хотя бы один носитель. Но это не взаимно-однозначное отображение, поскольку разные люди могут иметь одинаковые имена.
Когда мы что-то считаем, мы устанавливаем взаимно-однозначное отображение между считаемым множеством (яблок, страниц, уроков, чаинок, глотков) и отрезком натурального ряда.
Предположим, мы стали пересчитывать какое-то множество, скажем, яблок. Насчитали 10 яблок, а потом, не кончив, бросили считать. Говоря нашим ученым языком, имеет место отображение отрезка натурального ряда [1, 10] во множество яблок. Образ отображения состоит из пересчитанных яблок, а не пересчитанные не имеют прообраза. Таким образом, это не есть отображение на. У пересчитанных яблок при этом отображении имеется только один прообраз. Отображение, обладающее таким свойством называется отображением вложения или просто вложением.
Отображение на f: X® Y называется взаимно-однозначным, если у каждого элемента y О Y имеется единственный прообраз, т.е. это и отображение на и вложение. В примере с яблоками это означает, что мы пересчитали их все. Но определения наши относятся не только к конечным, но и к бесконечным множествам, т.е. таким, что их нельзя взаимно-однозначно отобразить на конечный отрезок натурального ряда. Например, множество всех натуральных чисел нельз взаимно-однозначно отобразить на отрезок этого ряда, т.е. пересчитать весь за конечное число шагов.
Отображения сложения, которое любым двум числам ставит в соответствие их сумму, не является взаимно-однозначным, поскольку 2+2 = 3+1 = 1 +3, т.е. существуют разные пары чисел, которые переходят в одно и то же число.
Для взаимно-однозначного отображения f: A ® B можно определить, и притом единственным образом (докажите !), обратное отображение

f-1: B ® A  , а именно: при b О B      f-1: b ® a,  если f: a ® b.
На этом языке (неизвестном древнегреческим философам) мы уже можем "считать" бесконечные множества. Но об этом - в следующей статье.
Множество AЕB можно отобразить на множество A следующим отображением f: < ab > ® a для любых a О Ab О B. Такое отображение на называется "проекцией". Аналогичную проекцию можно определить и на вторую переменную.
Множество A можно отобразить во множество AЕA следующим образом f: a ® < aa > . Такое отображение есть отображение вложения (докажите !), но не является отображением на. Его образ называется диагональю декартова квадрата.
Важные примеры отображений дают арифметические операции над числами (например, целыми) Z ЕZ ® Z. Сложение действует по формуле < ab > ® a + b. Легко проверить, что это отображение на, но не взаимно-однозначное. То же самое можно сказать и про операции вычитания и умножения, но не деления. Вместо целых чисел можно рассмотреть числа вещественные, т.е. бесконечные десятичные дроби - о них в следующей статье.

References

[1]
П. С. Александров: Введение в общую теорию множеств и функций. 1948.
[2]
Н. К. Верещагин, А. Шень: Начала теории множеств. М., 1999, МЦНМО.
[3]
Г. Е. Шилов: Математический анализ (функции одного переменного). Части 1-2. М., 1969, "Наука".

Footnotes:

1  Бессмертная заслуга Георга Кантора в том, что он отважился вступить в область бесконечного, не побоявшись ни внутренней, ни внешней борьбы не только с мнимыми парадоксами, широко распространенными предрассудками, приговорами философов, но и с предубеждением, высказанным многими великими математиками. Этим самым он стал создателем новой науки - теории множеств. Ф. Хаусдорф. Теори множеств. 1927.
2 Рене Декарт - французский офицер и математик начала XVII в. В отличие от своего современника, Д'Артаньяна, прославился именно как философ и математик, а не как фехтовальщик.